11 octobre 2005
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11 octobre 2005
BEN MERABET MUSTAPHA I. LES CHIFFRES PRESENTENT
BEN MERABET MUSTAPHA I.
LES CHIFFRES PRESENTENT PARFOIS D’ETONNANTES HARMONIES.
Les propriétés de formes.
Nous passons une grande partie de notre vie sans le savoir, immergé dans les nombres. Il est bon de pouvoir les distinguer, et de caractériser leur identité. Beaucoup d’entre eux sont remarquables, ils présentent des particularités de formes qui peuvent les rendre curieuses et voire même impressionnantes, leur utilisation, tant importante, permet d’obtenir des valeurs distinctives.
1. Le chiffre 9
La table de multiplication par 9
9 x 1 = 09
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 6 = 54
9 x 7 = 63
9 x 8 = 72
9 x 9 = 81
9 x 10 = 90
Pour effectuer la multiplication par 9, on écrit du haut vers le bas de la 5ème colonne les chiffres, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, et on agit de la même manière, mais du bas vers le haut dans la 6ème colonne.
Les chiffres de la 5ème colonne augmentent d’une unité à chaque ligne, par contre, ceux de la 6ème colonne diminuent d’autant.
La multiplication par 9 à répétition.
Les monotypes.
On appel monotypes, les nombres constitués des mêmes chiffres, comme 11 111 etc.
La multiplication par 9 des nombres en série donne des monotypes.
Multiplication par 9 des nombres en éventail progressif.
0 x 9 + 1 = 1
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111
Le carré de 9 chiffres.
125432 = 157 326 849,
dans le résultat de ce calcul, à part le chiffre 0, les 9 autres chiffres sont présents.
Multiplication par 9 des nombres en éventail baissant.
0 x 9 + 8 = 8
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1= 88888888
98765432 x 9 = 888888888
987654321 x 9 - 1 = 8888888888
La multiplication par 91.
1 x 91 = 091
2 x 91 = 182
3 x 91 = 273
4 x 91 = 364
5 x 91 = 455
6 x 91 = 546
7 x 91 = 637
8 x 91 = 728
9 x 91 = 819
2. Les chiffres composés par 1.
Le nombre 11.
Le plus élémentaire des monotypes est un nombre premier (11), il se spécifie par une série de multiples tout à fait distinctifs :
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
La suite des multiples à trois chiffres est elle aussi particulière, puisqu’il s’agit de nombres en stabilité numérique par rapport au chiffre du centre :
121
132
143
154
165
176
187
198
209
220
…
Le nombre 111.
Ce nombre possède deux facteurs premiers : 3 et 37.
Son carré est lui aussi remarquable ;
12 321, est un amphi drome.
Le nombre 1 111.
Ce nombre a deux facteurs premiers, 11 et 101,
1 111 / 11 = 101.
Son carré est égal à 1 234 321, représente un nombre amphi drome.
Le nombre 111 111.
Ce nombre est le résultat de la multiplication des cinq facteurs premiers ;
3 x 7 x 11 x 13 x 37
son carré, 12 345 654 321 est pareillement amphi drome.
Le nombre 1 111 111.
Ce nombre est l’aboutissement de la multiplication de deux facteurs premiers, 239 x 4 649,
son carré 1 234 567 654 321 est aussi amphi drome.
Le nombre 11 111 111.
Ce nombre est calculé par la multiplication de quatre facteur premiers ;
11 x 73 x 101 x 137
son carré 123 456 789654321 est amphi drome.
Le nombre 111 111 111.
Ce nombre est le conséquence de la réplique de trois facteurs premiers ;
3 x 3 x 37 x 333 667
son carré 12 345 678 987 654 321 est amphi drome et constitue le meilleur prototype que l’on puisse donner d’un nombre incontestablement étonnant.
Le carré de 1.
12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112=123454321
3. D’autres chiffres.
le nombre 37.
Si on multiplie ce nombre par l’un des termes de la progression arithmétique de raison 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
on obtient des monotypes de trois chiffres :
111, 222, 333, 444, 555, …, 999
On remarque que la somme des chiffres de chaque monotype est égale au multiplicateur de la progression, le monotype de 999 est obtenu par le multiple de 27 de la série.
Le nombre 41.
Ce nombre, multiplié par des multiples de 271, donne le monotype 11 111.
Le nombre 15 873
Ce nombre est le produit de 37 x 429, ou encore 143x 111, il est divisible par 3, 11, 13, 37.
Si on le multiplie par l’un des termes de la progression arithmétique de base 7, on obtient des monotypes de six chiffres ;
15 873 x 7 = 111 111
15 873 x 14 = 222 222
333 333
… …
15 873 x 63 = 999 999
Le nombre 12 345 679
C’est un nombre en éventail diminué du chiffre 8, si on le multiplie par l’un des multiples de 9, on obtient des monotypes de 9 chiffres ;
12345679 x 9 = 111 111 111
12345679 x 18 = 222 222 222
……………………………….
12345679 x 81 = 999 999 999
Ce même nombre est un multiple de 37, puisque 12345679 = 37 x 333 667
Lecture dans les deux sens.
Lecture de droite vers la gauche. Lecture de la gauche vers la droite
122 = 144 441 = 212
132 = 169 961 = 312
1022 = 10 404 40 401 = 2012
1032 = 10 609 90 601 = 3012
1122 = 12 544 44 521 = 2112
1132 = 12 769 96 721 = 3112
1222 = 14 884 48 841 = 2212
Il est possible de lire à l’envers les chiffres des années 1961, 1991, 1881, cependant, il faudra attendre le 61ème siècle pour avoir une année qui aura la même particularité, l'an 6009 s’y prête le mieux.
Les nombres pyramides.
12 = 1
22 = 1 + 3
32 = 1 + 3 + 5
42 = 1 + 3 + 5 + 7
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
62 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
82 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
92 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
102 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
Les nombres cubiques.
Les nombres 153, 370, 371, et 407 sont égaux à la somme des cubes des chiffres qui le composent ;
153 = 13 + 53 + 33
370 = 33 + 73 + 03
(1)2 = 13
1 = 1 carreau
(1 + 2 )2 = 13 + 23
(3)2 = 9
(1 + 2 + 3)2 = 13 + 23 + 33
(6)2 = 36 carreaux
(1 + 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43
(10)2 = 100 carreaux
(15)2 = 225 carreaux
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)2 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73
(28)2 = 784 carreaux
Et ainsi de suite…
Les anagrammes.
Depuis l’Antiquité, les anagrammes des mots sont bien connues.
Etymologiquement, anagramme signifie reversement des lettres, comme par exemple dans les mots « chien et niche », ou encore « poule et loupe ».
On peut de même utiliser ce terme pour désigner des chiffres formés des même chiffres, mais dans un ordre différent, ainsi on a comme exemple, le nombre 1598 et 8915, hormis les chiffres qui les composent, ces deux nombres n’ont pas de liens ni de points communs.
Les nombres 4923 et 9343 sont partageables tous deux par 3, par 9 et par 11.
On peut former avec n chiffres, une grande quantité d’anagrammes, tout résulte du nombre de permutations obtenues avec ce n chiffres. Leur nombre est égal au produit de n nombre entiers, ainsi :
- avec deux chiffres, on a 2 x 1 = 2 ou 2
- avec trois chiffres, on a 3 x 2 x 1 = 6 ou 6
- avec quatre chiffres, on a 4 x 3 x 2 x 1 = 24 ou 24
- avec cinq chiffres, on a 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 12 ou 120
En conséquence, avec les deux chiffres, on pourra accomplir deux arrangements de nombres anagrammes, avec les trois chiffres on pourra accomplir six arrangements de nombres anagrammes, et ainsi de suite.
Ainsi, avec les chiffres 7, 3, 1, on réalise :
173, 137, 713, 731, 317, 371
Pour des raisons de symétrie, deux nombres commencent par le même chiffre, deux autres finissent par le même chiffre.
Avec des suites de quatre chiffres, six commenceront ou finiront par le même chiffre, avec des suites de cinq chiffres, 24 commenceront ou finiront par le même chiffre.
Le modèle d’anagramme le plus surprenant est présenté par le nombre 142 857, les six premiers multiples de ce nombre, qui permettent de rester dans la limite des six chiffres sont des anagrammes. Il s’agit des six premiers parmi les 720 anagrammes qu’on peut composer avec six chiffres. De la sorte, on a :
142 857 x 1 = 142 857
142 857 x 2 = 285 714
142 857 x 3 = 428 571
142 857 x 4 = 571 428
142 857 x 5 = 714 285
142 857 x 6 = 857 142
Chaque membre peut être eu en opérant sur le précédent une simple interversion, le quatrième se déduit du troisième en arrangeant les trois derniers chiffres en tête des trois premiers. On remarquera dans l’ensemble, la position respective des structures des trois chiffres telles que 142, 857 et 285.
Les palindromes.
Selon l’étymologie grecque ;
- palin signifie nouveau,
- dromos signifie course.
Un nombre palindrome reste identique à lui même, qu’on le lise de droite vers la gauche ou de gauche vers la droite.
2178…………..8712
21788712
2178 x 4 = 8712
217848712
Entre 1001 et 1001, il y a une double action, on effectue une rotation de 180° ou un demi-tour en sens inverse, il s’agit de deux nombres, dont l’un est l’inversé de l’autre.
Ces deux ensembles de chiffres n’ont en commun que la valeur des chiffres et leur agencement quantitatif.
On a deux nombres qui, arithmétiquement, n’ont pas abondamment de liens ou de rapport.
Ainsi,
2178 n’a pas grand chose à voir avec 8712.
A l’origine, les palindromes étaient utilisés dans des phrases, des vers, qui peuvent être lus dans les deux sens, comme les mots NOEL et LEON.
Différence entre un nombre et son palindrome
Alors que les valeurs d’un nombre et de son palindrome sont disparates, leur différence peut être exprimée de manière précise en fonction des chiffres qui les composent.
Quel que soit le nombre de chiffres, on aura constamment pour la différence un nombre multiple de 9 à mettre en facteur. Ainsi, la différence entre un nombre et son palindrome sera toujours un multiple de 9.
- Nombres de deux chiffres
Exemple :
La différence entre 65 et son palindrome 56 est un multiple de 9 et de 1. Elle vaut 9.
9 x 1 = 9
- Nombres de trois chiffres
La différence entre 943 et son palindrome 349 est un multiple de 9, de 11, et de 6. Elle vaut 594.
9 x 11 x 6 = 594
- Nombre de quatre chiffres
La différence entre 9837 et son palindrome 7389 est un multiple de 999 x 2 + 90 x 7. Elle vaut 2448.
Somme d’un nombre et son palindrome
La somme d’un nombre et de son palindrome ne présente pas de particularités caractéristiques pouvant être exploitées dans les énigmes. Cependant, avec un nombre de deux chiffres, cette somme est constamment multiple de 11. On peut écrire :
Exemple :
La somme 95 et son palindrome 59 est un multiple de 11, elle vaut 154, soit ;
11 ( 9+5) = 154
Les amphi dromes.
Selon l’étymologie grecque ;
- amphi signifie des deux côtés
- dromos veut dire course, les canoës, les drakkars sont des navires amphi dromes, c’est des navires dont la proue et la poupe construites de la même manière, par conséquent, ils peuvent naviguer dans les deux sens.
Les nombres amphi dromes se lisent dans les deux sens, sans en modifier la valeur, tel que le nombre 87 478, on le déchiffre de la droite vers la gauche, quatre vingt sept mille quatre cent soixante dix huit, et de même de la gauche vers la droite, exception faite, des nombres formés d’un même chiffre, comme 222 …. etc., ils rejoignent des cas particuliers que l’on désigne monotypes.
L’utilisation du chiffre 1, et de sa répétition en tant que nombre amphi dromes donne lieu à la fois à un arrangement particulier, et à une forme qui tient à une règle arithmétique.
Les carrés formés avec le chiffre 1, et ce jusqu’au carré du nombre formé avec neufs chiffres 1 représentent un exemple assez significatif.
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
111111112 = 123456787654321
1111111112 = 12345678987654321
On remarque, dans ce tableau, qu’il y a une addition successive de nombres formés avec le chiffre 1et décalés chaque fois d’un rang.
On remarque aussi que les quatre premières puissances de 11 donnent un produit amphi dromes.
111 = 11
112 = 121
113 = 1331
114 = 14 641
Les nombres en éventail.
Ce sont des nombres qui ont la particularité d’être constitués de chiffres consécutifs, croissants ou décroissants, comme par exemple 567 ou 765.
Ces nombres présentent d’abondantes propriétés, tel que la divisibilité par 3 et 9 des nombres formés de trois, six ou neufs chiffres. Tout nombre en éventail de 3, 6 ou 9 chiffres est forcément un multiple de trois, ainsi on peut établir la relation :
S = m . 3 + (m . 3 + 1) + (m . 3 + 2) = m . 3 + 1 + 2 = m . 3.
Le nombre 123 456 789, qui utilise tous les chiffres sauf le zéro, est certainement le plus original, il possède la propriété de modifier sa structure quand on le multiplie par un chiffre non multiple de 3. Le produit offre un nombre tout à fait nouveau, constitué des mêmes chiffres dans le désordre. On a :
123 456 789 x 1 = 123 456 789
123 456 789 x 2 = 246 913 578
123 456 789 x 4 = 493 827 146
123 456 789 x 5 = 617 283 945
123 456 789 x 7 = 864 197 523
123 456 789 x 8 = 987 654 312
La multiplication par 3 et 6 donne des nombres à structure particulière :
123 456 789 x 3 = 370 370 367
123 456 789 x 6 = 740 740 734
Le produit par 9, 12, et 15 donne des nombres à structure particulière :
123 456 789 x 9 = 1 111 111 101
123 456 789 x 12 = 1 481 481 468
123 456 789 x 15 = 1 851 851 835
Le produit par 11 donne les mêmes chiffres, avec un zéro
123 456 789 x 11 = 1 358 024 679
*
Le chiffre caché
Sur la face des calculatrices, ordinaires ou scientifiques, les chiffres de 1 à 9 sont disposés en carré. Confiez à un partenaire une calculatrice quelconque et demande-lui de choisir soit une ligne horizontale, verticale ou diagonale et d’appuyer sur les chiffres dans l’ordre qu’il désire.
Sur la fenêtre d’affichage, apparaît un nombre de trois chiffres, il devra maintenant multiplier ce nombre par un autre de trois chiffres se trouvant aussi sur une ligne verticale, horizontale ou diagonale, l’ordre des chiffres importe peu.
Lorsque le résultat du produit apparaît, il devra choisir un chiffre quelconque différent de zéro, il le gardera secret à son niveau et ne transmettra que les chiffres qui reste.
Sur la face de cette calculatrice, on a sélectionné en pointillés, les nombres, dans le plan horizontal, 123, et en colonne dans le plan vertical 258
La multiplication peut se faire dans n’importe quel ordre, c’est à dire 231*825 ou 258*321 etc.
Pour trouver le chiffre manquant, additionnez les chiffres que votre partenaire vous a transmis, sans tenir compte du 9
Si la somme dépasse 9, additionnez encore le chiffre des unités et celui des dizaines, vous aurez ainsi un résultat inférieur à 10.
Le chiffre à trouver est ce qu’il faut ajouter pour obtenir 9.
Faisons le produit 258 x 321
Le résultat est 82818
Si du résultat obtenu, votre partenaire ne vous transmet que les chiffres 8818, il manque le 2.
Additionnez 8 + 8 + 1 + 8 = 25
Additionnez de nouveau 2 + 5 =7 et 9 – 7 = 2, de 7 à 9 il manque le chiffre 2, c’est le chiffre caché.
La somme des chiffres d’un nombre divisible par 9 est elle même un multiple de 9.
Le produit de deux nombres tous deux divisibles par 3, est divisible par 9, on écrit le produit 3ax3b = 9ab, x représente le chiffre que le partenaire n’a pas annoncé, la somme des chiffres donnés sera un multiple de 9 moins x.
11 octobre 2005
BEN MERABET MUSTAPHA I. LES CHIFFRES PRESENTENT
BEN MERABET MUSTAPHA I.
LES CHIFFRES PRESENTENT PARFOIS D’ETONNANTES HARMONIES.
Les propriétés de formes.
Nous passons une grande partie de notre vie sans le savoir, immergé dans les nombres. Il est bon de pouvoir les distinguer, et de caractériser leur identité. Beaucoup d’entre eux sont remarquables, ils présentent des particularités de formes qui peuvent les rendre curieuses et voire même impressionnantes, leur utilisation, tant importante, permet d’obtenir des valeurs distinctives.
1. Le chiffre 9
La table de multiplication par 9
9 x 1 = 09
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 6 = 54
9 x 7 = 63
9 x 8 = 72
9 x 9 = 81
9 x 10 = 90
Pour effectuer la multiplication par 9, on écrit du haut vers le bas de la 5ème colonne les chiffres, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, et on agit de la même manière, mais du bas vers le haut dans la 6ème colonne.
Les chiffres de la 5ème colonne augmentent d’une unité à chaque ligne, par contre, ceux de la 6ème colonne diminuent d’autant.
La multiplication par 9 à répétition.
Les monotypes.
On appel monotypes, les nombres constitués des mêmes chiffres, comme 11 111 etc.
La multiplication par 9 des nombres en série donne des monotypes.
Multiplication par 9 des nombres en éventail progressif.
0 x 9 + 1 = 1
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111
Le carré de 9 chiffres.
125432 = 157 326 849,
dans le résultat de ce calcul, à part le chiffre 0, les 9 autres chiffres sont présents.
Multiplication par 9 des nombres en éventail baissant.
0 x 9 + 8 = 8
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1= 88888888
98765432 x 9 = 888888888
987654321 x 9 - 1 = 8888888888
La multiplication par 91.
1 x 91 = 091
2 x 91 = 182
3 x 91 = 273
4 x 91 = 364
5 x 91 = 455
6 x 91 = 546
7 x 91 = 637
8 x 91 = 728
9 x 91 = 819
2. Les chiffres composés par 1.
Le nombre 11.
Le plus élémentaire des monotypes est un nombre premier (11), il se spécifie par une série de multiples tout à fait distinctifs :
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
La suite des multiples à trois chiffres est elle aussi particulière, puisqu’il s’agit de nombres en stabilité numérique par rapport au chiffre du centre :
121
132
143
154
165
176
187
198
209
220
…
Le nombre 111.
Ce nombre possède deux facteurs premiers : 3 et 37.
Son carré est lui aussi remarquable ;
12 321, est un amphi drome.
Le nombre 1 111.
Ce nombre a deux facteurs premiers, 11 et 101,
1 111 / 11 = 101.
Son carré est égal à 1 234 321, représente un nombre amphi drome.
Le nombre 111 111.
Ce nombre est le résultat de la multiplication des cinq facteurs premiers ;
3 x 7 x 11 x 13 x 37
son carré, 12 345 654 321 est pareillement amphi drome.
Le nombre 1 111 111.
Ce nombre est l’aboutissement de la multiplication de deux facteurs premiers, 239 x 4 649,
son carré 1 234 567 654 321 est aussi amphi drome.
Le nombre 11 111 111.
Ce nombre est calculé par la multiplication de quatre facteur premiers ;
11 x 73 x 101 x 137
son carré 123 456 789654321 est amphi drome.
Le nombre 111 111 111.
Ce nombre est le conséquence de la réplique de trois facteurs premiers ;
3 x 3 x 37 x 333 667
son carré 12 345 678 987 654 321 est amphi drome et constitue le meilleur prototype que l’on puisse donner d’un nombre incontestablement étonnant.
Le carré de 1.
12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112=123454321
3. D’autres chiffres.
le nombre 37.
Si on multiplie ce nombre par l’un des termes de la progression arithmétique de raison 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
on obtient des monotypes de trois chiffres :
111, 222, 333, 444, 555, …, 999
On remarque que la somme des chiffres de chaque monotype est égale au multiplicateur de la progression, le monotype de 999 est obtenu par le multiple de 27 de la série.
Le nombre 41.
Ce nombre, multiplié par des multiples de 271, donne le monotype 11 111.
Le nombre 15 873
Ce nombre est le produit de 37 x 429, ou encore 143x 111, il est divisible par 3, 11, 13, 37.
Si on le multiplie par l’un des termes de la progression arithmétique de base 7, on obtient des monotypes de six chiffres ;
15 873 x 7 = 111 111
15 873 x 14 = 222 222
333 333
… …
15 873 x 63 = 999 999
Le nombre 12 345 679
C’est un nombre en éventail diminué du chiffre 8, si on le multiplie par l’un des multiples de 9, on obtient des monotypes de 9 chiffres ;
12345679 x 9 = 111 111 111
12345679 x 18 = 222 222 222
……………………………….
12345679 x 81 = 999 999 999
Ce même nombre est un multiple de 37, puisque 12345679 = 37 x 333 667
Lecture dans les deux sens.
Lecture de droite vers la gauche. Lecture de la gauche vers la droite
122 = 144 441 = 212
132 = 169 961 = 312
1022 = 10 404 40 401 = 2012
1032 = 10 609 90 601 = 3012
1122 = 12 544 44 521 = 2112
1132 = 12 769 96 721 = 3112
1222 = 14 884 48 841 = 2212
Il est possible de lire à l’envers les chiffres des années 1961, 1991, 1881, cependant, il faudra attendre le 61ème siècle pour avoir une année qui aura la même particularité, l'an 6009 s’y prête le mieux.
Les nombres pyramides.
12 = 1
22 = 1 + 3
32 = 1 + 3 + 5
42 = 1 + 3 + 5 + 7
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
62 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
82 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
92 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
102 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
Les nombres cubiques.
Les nombres 153, 370, 371, et 407 sont égaux à la somme des cubes des chiffres qui le composent ;
153 = 13 + 53 + 33
370 = 33 + 73 + 03
(1)2 = 13
1 = 1 carreau
(1 + 2 )2 = 13 + 23
(3)2 = 9
(1 + 2 + 3)2 = 13 + 23 + 33
(6)2 = 36 carreaux
(1 + 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43
(10)2 = 100 carreaux
(15)2 = 225 carreaux
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)2 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73
(28)2 = 784 carreaux
Et ainsi de suite…
Les anagrammes.
Depuis l’Antiquité, les anagrammes des mots sont bien connues.
Etymologiquement, anagramme signifie reversement des lettres, comme par exemple dans les mots « chien et niche », ou encore « poule et loupe ».
On peut de même utiliser ce terme pour désigner des chiffres formés des même chiffres, mais dans un ordre différent, ainsi on a comme exemple, le nombre 1598 et 8915, hormis les chiffres qui les composent, ces deux nombres n’ont pas de liens ni de points communs.
Les nombres 4923 et 9343 sont partageables tous deux par 3, par 9 et par 11.
On peut former avec n chiffres, une grande quantité d’anagrammes, tout résulte du nombre de permutations obtenues avec ce n chiffres. Leur nombre est égal au produit de n nombre entiers, ainsi :
- avec deux chiffres, on a 2 x 1 = 2 ou 2
- avec trois chiffres, on a 3 x 2 x 1 = 6 ou 6
- avec quatre chiffres, on a 4 x 3 x 2 x 1 = 24 ou 24
- avec cinq chiffres, on a 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 12 ou 120
En conséquence, avec les deux chiffres, on pourra accomplir deux arrangements de nombres anagrammes, avec les trois chiffres on pourra accomplir six arrangements de nombres anagrammes, et ainsi de suite.
Ainsi, avec les chiffres 7, 3, 1, on réalise :
173, 137, 713, 731, 317, 371
Pour des raisons de symétrie, deux nombres commencent par le même chiffre, deux autres finissent par le même chiffre.
Avec des suites de quatre chiffres, six commenceront ou finiront par le même chiffre, avec des suites de cinq chiffres, 24 commenceront ou finiront par le même chiffre.
Le modèle d’anagramme le plus surprenant est présenté par le nombre 142 857, les six premiers multiples de ce nombre, qui permettent de rester dans la limite des six chiffres sont des anagrammes. Il s’agit des six premiers parmi les 720 anagrammes qu’on peut composer avec six chiffres. De la sorte, on a :
142 857 x 1 = 142 857
142 857 x 2 = 285 714
142 857 x 3 = 428 571
142 857 x 4 = 571 428
142 857 x 5 = 714 285
142 857 x 6 = 857 142
Chaque membre peut être eu en opérant sur le précédent une simple interversion, le quatrième se déduit du troisième en arrangeant les trois derniers chiffres en tête des trois premiers. On remarquera dans l’ensemble, la position respective des structures des trois chiffres telles que 142, 857 et 285.
Les palindromes.
Selon l’étymologie grecque ;
- palin signifie nouveau,
- dromos signifie course.
Un nombre palindrome reste identique à lui même, qu’on le lise de droite vers la gauche ou de gauche vers la droite.
2178…………..8712
21788712
2178 x 4 = 8712
217848712
Entre 1001 et 1001, il y a une double action, on effectue une rotation de 180° ou un demi-tour en sens inverse, il s’agit de deux nombres, dont l’un est l’inversé de l’autre.
Ces deux ensembles de chiffres n’ont en commun que la valeur des chiffres et leur agencement quantitatif.
On a deux nombres qui, arithmétiquement, n’ont pas abondamment de liens ou de rapport.
Ainsi,
2178 n’a pas grand chose à voir avec 8712.
A l’origine, les palindromes étaient utilisés dans des phrases, des vers, qui peuvent être lus dans les deux sens, comme les mots NOEL et LEON.
Différence entre un nombre et son palindrome
Alors que les valeurs d’un nombre et de son palindrome sont disparates, leur différence peut être exprimée de manière précise en fonction des chiffres qui les composent.
Quel que soit le nombre de chiffres, on aura constamment pour la différence un nombre multiple de 9 à mettre en facteur. Ainsi, la différence entre un nombre et son palindrome sera toujours un multiple de 9.
- Nombres de deux chiffres
Exemple :
La différence entre 65 et son palindrome 56 est un multiple de 9 et de 1. Elle vaut 9.
9 x 1 = 9
- Nombres de trois chiffres
La différence entre 943 et son palindrome 349 est un multiple de 9, de 11, et de 6. Elle vaut 594.
9 x 11 x 6 = 594
- Nombre de quatre chiffres
La différence entre 9837 et son palindrome 7389 est un multiple de 999 x 2 + 90 x 7. Elle vaut 2448.
Somme d’un nombre et son palindrome
La somme d’un nombre et de son palindrome ne présente pas de particularités caractéristiques pouvant être exploitées dans les énigmes. Cependant, avec un nombre de deux chiffres, cette somme est constamment multiple de 11. On peut écrire :
Exemple :
La somme 95 et son palindrome 59 est un multiple de 11, elle vaut 154, soit ;
11 ( 9+5) = 154
Les amphi dromes.
Selon l’étymologie grecque ;
- amphi signifie des deux côtés
- dromos veut dire course, les canoës, les drakkars sont des navires amphi dromes, c’est des navires dont la proue et la poupe construites de la même manière, par conséquent, ils peuvent naviguer dans les deux sens.
Les nombres amphi dromes se lisent dans les deux sens, sans en modifier la valeur, tel que le nombre 87 478, on le déchiffre de la droite vers la gauche, quatre vingt sept mille quatre cent soixante dix huit, et de même de la gauche vers la droite, exception faite, des nombres formés d’un même chiffre, comme 222 …. etc., ils rejoignent des cas particuliers que l’on désigne monotypes.
L’utilisation du chiffre 1, et de sa répétition en tant que nombre amphi dromes donne lieu à la fois à un arrangement particulier, et à une forme qui tient à une règle arithmétique.
Les carrés formés avec le chiffre 1, et ce jusqu’au carré du nombre formé avec neufs chiffres 1 représentent un exemple assez significatif.
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
111111112 = 123456787654321
1111111112 = 12345678987654321
On remarque, dans ce tableau, qu’il y a une addition successive de nombres formés avec le chiffre 1et décalés chaque fois d’un rang.
On remarque aussi que les quatre premières puissances de 11 donnent un produit amphi dromes.
111 = 11
112 = 121
113 = 1331
114 = 14 641
Les nombres en éventail.
Ce sont des nombres qui ont la particularité d’être constitués de chiffres consécutifs, croissants ou décroissants, comme par exemple 567 ou 765.
Ces nombres présentent d’abondantes propriétés, tel que la divisibilité par 3 et 9 des nombres formés de trois, six ou neufs chiffres. Tout nombre en éventail de 3, 6 ou 9 chiffres est forcément un multiple de trois, ainsi on peut établir la relation :
S = m . 3 + (m . 3 + 1) + (m . 3 + 2) = m . 3 + 1 + 2 = m . 3.
Le nombre 123 456 789, qui utilise tous les chiffres sauf le zéro, est certainement le plus original, il possède la propriété de modifier sa structure quand on le multiplie par un chiffre non multiple de 3. Le produit offre un nombre tout à fait nouveau, constitué des mêmes chiffres dans le désordre. On a :
123 456 789 x 1 = 123 456 789
123 456 789 x 2 = 246 913 578
123 456 789 x 4 = 493 827 146
123 456 789 x 5 = 617 283 945
123 456 789 x 7 = 864 197 523
123 456 789 x 8 = 987 654 312
La multiplication par 3 et 6 donne des nombres à structure particulière :
123 456 789 x 3 = 370 370 367
123 456 789 x 6 = 740 740 734
Le produit par 9, 12, et 15 donne des nombres à structure particulière :
123 456 789 x 9 = 1 111 111 101
123 456 789 x 12 = 1 481 481 468
123 456 789 x 15 = 1 851 851 835
Le produit par 11 donne les mêmes chiffres, avec un zéro
123 456 789 x 11 = 1 358 024 679
*
Le chiffre caché
Sur la face des calculatrices, ordinaires ou scientifiques, les chiffres de 1 à 9 sont disposés en carré. Confiez à un partenaire une calculatrice quelconque et demande-lui de choisir soit une ligne horizontale, verticale ou diagonale et d’appuyer sur les chiffres dans l’ordre qu’il désire.
Sur la fenêtre d’affichage, apparaît un nombre de trois chiffres, il devra maintenant multiplier ce nombre par un autre de trois chiffres se trouvant aussi sur une ligne verticale, horizontale ou diagonale, l’ordre des chiffres importe peu.
Lorsque le résultat du produit apparaît, il devra choisir un chiffre quelconque différent de zéro, il le gardera secret à son niveau et ne transmettra que les chiffres qui reste.
Sur la face de cette calculatrice, on a sélectionné en pointillés, les nombres, dans le plan horizontal, 123, et en colonne dans le plan vertical 258
La multiplication peut se faire dans n’importe quel ordre, c’est à dire 231*825 ou 258*321 etc.
Pour trouver le chiffre manquant, additionnez les chiffres que votre partenaire vous a transmis, sans tenir compte du 9
Si la somme dépasse 9, additionnez encore le chiffre des unités et celui des dizaines, vous aurez ainsi un résultat inférieur à 10.
Le chiffre à trouver est ce qu’il faut ajouter pour obtenir 9.
Faisons le produit 258 x 321
Le résultat est 82818
Si du résultat obtenu, votre partenaire ne vous transmet que les chiffres 8818, il manque le 2.
Additionnez 8 + 8 + 1 + 8 = 25
Additionnez de nouveau 2 + 5 =7 et 9 – 7 = 2, de 7 à 9 il manque le chiffre 2, c’est le chiffre caché.
La somme des chiffres d’un nombre divisible par 9 est elle même un multiple de 9.
Le produit de deux nombres tous deux divisibles par 3, est divisible par 9, on écrit le produit 3ax3b = 9ab, x représente le chiffre que le partenaire n’a pas annoncé, la somme des chiffres donnés sera un multiple de 9 moins x.
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1 octobre 2005
histoire des maths
14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 8044
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