BEN MERABET MUSTAPHA I. LES CHIFFRES PRESENTENT

BEN MERABET MUSTAPHA I.

LES CHIFFRES PRESENTENT PARFOIS  D’ETONNANTES HARMONIES.

Les propriétés de formes.

     Nous passons une grande partie de notre vie sans le savoir, immergé dans les nombres. Il est bon de pouvoir les distinguer, et de caractériser leur identité. Beaucoup  d’entre eux sont remarquables,  ils présentent des particularités de formes qui peuvent les rendre curieuses et voire même  impressionnantes, leur utilisation, tant importante, permet d’obtenir des valeurs  distinctives.

1. Le chiffre 9

La table de multiplication par 9

9 x 1 = 09

9 x 2 = 18

9 x 3 = 27

9 x 4 = 36

9 x 5 = 45

9 x 6 = 54

9 x 7 = 63

9 x 8 = 72

9 x 9 =  81

9 x 10 = 90

Pour  effectuer la multiplication par 9, on écrit du haut vers le bas de la 5^ème colonne les chiffres, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, et on agit de la même manière, mais du bas vers le haut dans la 6^ème colonne.

Les chiffres de la 5^ème colonne augmentent d’une unité à chaque ligne, par contre, ceux de la 6^ème colonne diminuent d’autant.

La multiplication par 9 à répétition.

Les monotypes.

On appel monotypes, les nombres constitués des mêmes chiffres, comme 11 111 etc.

La multiplication par 9 des nombres en série donne des monotypes.

Multiplication par 9 des nombres en éventail progressif.

0 x 9 + 1 = 1

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

123456789 x 9 + 10 = 1111111111

Le carré de 9 chiffres.

12543² = 157 326 849,

dans le résultat de ce calcul, à part le chiffre 0, les 9 autres chiffres sont présents.   

Multiplication par 9 des nombres en éventail baissant.

0 x 9 + 8 =  8

9 x 9 + 7 = 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5 = 8888

9876 x 9 + 4 = 88888

98765 x 9 + 3 = 888888

987654 x 9 + 2 = 8888888

9876543 x 9 + 1= 88888888

98765432 x 9   =    888888888

987654321 x 9 - 1 = 8888888888

La multiplication par 91.

1 x 91 = 091

2 x 91 = 182

3 x 91 = 273

4 x 91 = 364

5 x 91 = 455

6 x 91 = 546

7 x 91 = 637

8 x 91 = 728

9 x 91 = 819

2. Les chiffres composés par 1.

Le nombre 11.

Le plus élémentaire des monotypes est un nombre premier (11), il se spécifie par une série de multiples tout à fait distinctifs :

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

La suite des multiples à trois chiffres est elle aussi particulière, puisqu’il s’agit de nombres en stabilité numérique par rapport au chiffre du centre :

121

132

143

154

165

176

187

198

209

220

…

Le nombre 111.

Ce nombre possède deux facteurs premiers : 3 et 37.

Son carré est lui  aussi remarquable ;

12 321, est un amphi drome.

Le nombre 1 111.

Ce nombre a deux facteurs premiers, 11 et 101,

1 111 /  11 = 101.

Son carré est égal à 1 234 321, représente un nombre amphi drome.

Le nombre 111 111.

Ce nombre est le résultat   de la multiplication des cinq  facteurs premiers ;

3 x 7 x 11 x 13 x  37

son carré, 12 345 654 321 est pareillement amphi drome.

Le nombre 1 111 111.

Ce nombre est l’aboutissement de la multiplication de deux facteurs premiers, 239 x 4 649,

son carré 1 234 567 654 321 est aussi amphi drome.

Le nombre 11 111 111.

Ce nombre est calculé par la multiplication de quatre facteur premiers ;

11 x 73 x 101 x 137

son carré  123 456 789654321 est amphi drome.

Le nombre 111 111 111.

Ce nombre est le conséquence de la réplique de trois facteurs premiers ;

3 x 3 x 37 x 333 667

son carré 12 345 678 987 654 321 est amphi drome et constitue le meilleur prototype que l’on puisse donner d’un nombre incontestablement étonnant.

Le carré de 1.

1² =     1 

11² =   121

111² =  12321

1111² = 1234321

11111²=123454321

3. D’autres chiffres.

le nombre 37.

Si on multiplie ce nombre par l’un des termes de la progression arithmétique  de raison 3:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27

on obtient des monotypes de trois chiffres :

111, 222, 333, 444, 555, …, 999

On remarque que la somme des chiffres de chaque monotype est égale au multiplicateur de la progression, le monotype de 999 est obtenu par le multiple de 27 de la série.

Le nombre 41.

Ce nombre, multiplié par des multiples de 271, donne le monotype 11 111.

Le nombre 15 873

Ce nombre est le produit  de 37 x 429, ou encore 143x 111, il est divisible par 3, 11, 13, 37.

Si on le multiplie par l’un des termes de la progression arithmétique de base 7, on obtient des monotypes de six chiffres ;

15 873 x 7 = 111 111

15 873 x 14 = 222 222

333 333

… …

15 873 x  63 = 999 999

Le nombre 12 345 679

C’est un nombre en éventail diminué du chiffre 8, si on le multiplie par l’un des multiples de 9, on obtient des monotypes de 9 chiffres ;

12345679 x 9 = 111 111 111

12345679 x 18 = 222 222 222

……………………………….

12345679 x 81 = 999 999 999

Ce même nombre est un multiple de 37, puisque  12345679 = 37 x 333 667

Lecture dans les deux sens.

Lecture de droite vers la gauche.               Lecture de la gauche vers la droite

12² = 144                                   441 = 21²

13² = 169                                    961 = 31²

102² = 10 404                             40 401 = 201²

103² = 10 609                              90 601 = 301²

112² = 12 544                              44 521 = 211²

113² = 12 769                              96 721 = 311²    

122² = 14 884                              48 841 = 221²

     Il est possible de lire à l’envers les chiffres des années 1961, 1991, 1881,  cependant, il faudra attendre le 61^ème siècle pour avoir une année qui aura la même particularité, l'an 6009 s’y prête le mieux.

Les nombres pyramides.

1² = 1

2² = 1 + 3

3² = 1 + 3 + 5

4² = 1 + 3 + 5 + 7

5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

8² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

9² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17

10² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

Les nombres cubiques.

Les nombres 153, 370, 371, et 407 sont égaux à la somme des cubes des chiffres qui le composent ;

153 = 1³ + 5³ + 3³

370 = 3³ + 7³ + 0³

La somme des premiers entiers au carré vaut la somme de leur cube . On a :

(1)² = 1³

1 = 1 carreau

(1 + 2 )^{2 =} 1³ + 2³

(3)² = 9

(1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³

(6)² = 36 carreaux

  (1 + 2 + 3 + 4)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³

(10)² = 100 carreaux

(1 + 2 + 3 + 4 + 5)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³

(15)² = 225 carreaux

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³

(28)² = 784 carreaux

Et ainsi de suite…

Les anagrammes.

Depuis l’Antiquité, les anagrammes des mots sont bien connues.

Etymologiquement, anagramme signifie reversement des lettres, comme par exemple dans les mots « chien et niche », ou encore « poule et loupe ».

On peut de même utiliser ce terme pour désigner des chiffres formés des même chiffres, mais dans un ordre différent, ainsi on a comme exemple, le nombre 1598 et 8915, hormis les chiffres qui les composent, ces deux nombres n’ont pas de liens ni de points communs.

Les nombres 4923 et 9343 sont partageables  tous deux par 3, par 9 et par 11.

     On peut former  avec  n chiffres, une grande quantité d’anagrammes, tout résulte du nombre de permutations obtenues  avec ce n chiffres. Leur nombre est égal au produit de n nombre entiers, ainsi :

     - avec deux chiffres, on a                               2 x 1 = 2     ou 2

      - avec trois chiffres, on a                         3 x 2 x 1 = 6     ou 6

      - avec quatre chiffres, on a                4 x 3 x 2 x 1 = 24   ou 24

      - avec cinq chiffres, on a             5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 12   ou 120

En conséquence, avec les deux chiffres, on pourra accomplir deux arrangements de nombres anagrammes, avec les trois chiffres on pourra accomplir six arrangements de nombres anagrammes, et ainsi de suite.

Ainsi, avec les chiffres 7, 3, 1, on réalise :

173, 137, 713, 731, 317, 371

Pour des raisons de symétrie, deux nombres commencent par le même chiffre, deux autres finissent par le même chiffre.

Avec des suites de quatre chiffres, six commenceront ou finiront par le même chiffre, avec des suites de cinq chiffres, 24 commenceront ou finiront par le même chiffre.

Le modèle d’anagramme le plus surprenant est présenté par le nombre 142 857, les six premiers multiples de ce nombre, qui permettent de rester dans la limite des six chiffres sont des anagrammes.  Il s’agit des six premiers parmi les 720 anagrammes qu’on peut composer avec six chiffres. De la sorte, on a :

142 857 x 1 = 142 857

142 857 x 2  = 285 714

142 857 x 3 = 428 571

142 857 x 4 = 571 428

142 857 x 5 = 714 285

142 857 x 6 = 857 142

Chaque membre peut être eu en opérant sur le précédent une simple interversion, le quatrième se déduit du troisième en arrangeant les trois derniers chiffres en tête des trois premiers. On remarquera dans l’ensemble, la position respective des structures des  trois chiffres telles que  142, 857 et 285.

Les palindromes.

Selon l’étymologie grecque ;

-         palin signifie nouveau,

-         dromos signifie course. 

     Un nombre palindrome reste identique à lui même, qu’on le lise de droite vers la gauche ou de gauche vers la droite.

2178…………..8712

21788712

2178 x 4 = 8712

217848712

Entre 1001 et 1001, il y a une double action, on effectue une rotation de 180° ou un demi-tour en sens inverse, il s’agit de deux nombres, dont l’un est l’inversé de l’autre.

Ces deux ensembles de chiffres n’ont en commun que la valeur des chiffres et leur agencement quantitatif.

On a deux nombres qui, arithmétiquement, n’ont pas abondamment de liens ou de rapport.

Ainsi,

2178 n’a pas grand chose à voir avec 8712. 

A l’origine, les palindromes étaient utilisés dans des phrases, des vers, qui peuvent être lus dans les deux sens, comme les mots NOEL et LEON.

Différence entre un nombre et son palindrome

Alors que les valeurs d’un nombre et de son palindrome sont disparates, leur différence peut être exprimée de manière précise en fonction des chiffres qui les composent.

Quel que soit le nombre de chiffres, on aura constamment pour la différence un nombre multiple de 9 à mettre en facteur. Ainsi, la différence entre un nombre et son palindrome sera toujours un multiple de 9. 

-        Nombres de deux chiffres

Exemple :

La différence entre 65 et  son palindrome 56 est un multiple de 9 et de 1. Elle vaut 9.

9 x 1 = 9

-        Nombres de trois chiffres

La différence entre 943 et son palindrome 349 est un multiple de 9, de 11, et de 6. Elle vaut 594.

9 x 11 x 6 = 594

-        Nombre de quatre chiffres

La différence entre 9837 et son palindrome 7389 est un multiple de 999 x 2 + 90 x 7. Elle vaut 2448.

Somme d’un nombre et son palindrome

La somme d’un nombre et de son palindrome ne présente pas de particularités caractéristiques pouvant être exploitées dans les énigmes. Cependant, avec un nombre de deux chiffres, cette somme est constamment multiple de 11. On peut écrire :

Exemple :

La somme 95 et  son palindrome 59 est un multiple de 11, elle vaut 154, soit ;

11 ( 9+5) = 154

Les amphi dromes.

Selon l’étymologie grecque ;

-         amphi signifie des deux côtés

-          dromos veut dire course, les canoës, les drakkars sont des navires amphi dromes, c’est des navires dont la proue et la poupe  construites de la même manière, par conséquent, ils peuvent naviguer dans les deux sens. 

Les nombres amphi dromes se lisent dans les deux sens, sans en modifier la valeur,   tel que le nombre  87 478, on  le déchiffre de  la droite vers la gauche, quatre vingt sept mille quatre cent soixante dix huit, et de même de la gauche vers la droite, exception faite, des nombres formés d’un même chiffre, comme  222 …. etc., ils rejoignent des cas particuliers que l’on désigne monotypes.

L’utilisation du chiffre 1, et de sa répétition en tant que nombre amphi dromes donne lieu à la fois à un arrangement particulier, et à une forme qui tient à une règle arithmétique.

Les carrés formés avec le chiffre 1, et ce jusqu’au carré du nombre formé avec neufs chiffres  1 représentent un exemple assez significatif.

11² = 121

111² = 12321

1111² = 1234321

11111² = 123454321

111111² = 12345654321

1111111² = 1234567654321

11111111² = 123456787654321

111111111² = 12345678987654321

On remarque, dans ce tableau, qu’il y a une addition successive de nombres formés avec le chiffre 1et décalés chaque fois d’un rang.       

On remarque aussi que les quatre premières puissances de 11 donnent un produit amphi dromes.

11¹ = 11

11² = 121

11³ = 1331

11⁴ = 14 641

Les nombres en éventail.

Ce sont des nombres qui ont la particularité d’être constitués de chiffres consécutifs, croissants ou décroissants, comme par exemple 567 ou 765. 

Ces nombres présentent d’abondantes propriétés, tel que la divisibilité par 3 et 9 des nombres formés de trois, six ou neufs chiffres. Tout nombre en éventail de 3, 6 ou 9 chiffres est forcément un multiple de trois, ainsi on peut établir la relation :

S = m . 3 + (m . 3 + 1) + (m . 3 + 2) = m . 3 +    1   +     2 = m . 3.

Le nombre 123 456 789, qui utilise tous les chiffres sauf le zéro, est certainement le plus original, il possède la propriété de modifier sa structure quand on le multiplie par un chiffre non multiple de 3. Le produit offre un nombre tout à fait nouveau, constitué des mêmes chiffres dans le désordre. On a :

123 456 789 x 1 = 123 456 789

123 456 789 x 2 = 246 913 578

123 456 789 x 4 = 493 827 146

123 456 789 x 5 = 617 283 945

123 456 789 x 7 = 864 197 523

123 456 789 x 8 = 987 654 312

La multiplication par 3 et 6 donne des nombres à structure particulière :

123 456 789 x 3 = 370 370 367

123 456 789 x 6 = 740 740 734

Le produit par 9, 12, et 15 donne des nombres à structure particulière :

123 456 789 x 9 = 1 111 111 101

123 456 789 x 12 = 1 481 481 468

123 456 789 x 15 = 1 851 851 835

Le produit par 11 donne les mêmes chiffres, avec un zéro

123 456 789 x 11 = 1 358 024 679

*

Le chiffre caché

Sur la face des calculatrices, ordinaires ou scientifiques, les chiffres de 1 à 9 sont disposés en carré. Confiez à un partenaire une calculatrice quelconque et demande-lui de choisir soit une ligne horizontale,  verticale ou diagonale et d’appuyer sur les chiffres dans l’ordre qu’il désire.

Sur la fenêtre d’affichage,  apparaît un nombre de trois chiffres, il devra maintenant multiplier ce nombre par un autre de trois chiffres se trouvant aussi sur une ligne verticale, horizontale ou diagonale, l’ordre des chiffres importe peu.

Lorsque le résultat du produit apparaît, il devra choisir un chiffre quelconque différent de zéro, il le gardera secret à son niveau et ne transmettra que les chiffres qui reste.

   Sur la face de cette calculatrice, on a sélectionné en pointillés, les nombres, dans le plan horizontal, 123, et en colonne dans le plan vertical 258

La multiplication peut se faire dans n’importe quel ordre, c’est à dire 231*825 ou 258*321 etc.

Pour trouver le chiffre manquant, additionnez les chiffres que votre partenaire vous a transmis, sans tenir compte du 9

Si la somme dépasse 9, additionnez encore le chiffre des unités et celui des dizaines, vous aurez ainsi un résultat inférieur à 10.

Le chiffre à trouver est ce qu’il faut ajouter pour obtenir 9.

Faisons le produit 258 x 321

Le résultat est 82818   

Si du résultat obtenu, votre partenaire ne vous transmet que les chiffres 8818, il manque le 2.

Additionnez 8 + 8 + 1 + 8 = 25

Additionnez de nouveau 2 + 5 =7 et 9 – 7 = 2, de 7 à 9 il manque le chiffre 2, c’est le chiffre caché.

     La somme des chiffres d’un nombre divisible par 9 est elle même un multiple de 9.

Le produit de deux nombres tous deux divisibles par 3, est divisible par 9, on écrit le produit 3ax3b = 9ab, x représente le chiffre que le partenaire n’a pas annoncé, la somme des chiffres donnés sera un multiple de 9 moins x.